穩定分布是一類無窮可分分布，稱隨機變量X的概率分布為穩定的，如果對于任意實數a?>0，a?>0，b?和b?，存在實數a>0和b，使其分布函數F(x)滿足條件：F(a?x+b?)*F(a?x+b?)=F(ax+b)，其中“*”表示函數的卷積運算。直觀上，如果同一類型分布的卷積分布仍為此種類型，則分布稱做穩定的。穩定分布都是無窮可分分布，如退化分布、正態分布、柯西分布等。獨立同分布隨機變量和的極限分布是穩定分布，穩定分布都是某獨立同分布隨機變量和的極限分布。
穩定分布的定義
穩定分布有多種等價的定義方式，這里根據穩定性(Stability Property)、吸引域(Domain of Attraction)和特征函數(Characteristic 函數)給出穩定分布的三種定義。
穩定性定義
如果對于任意正數A和B，存在正數C和一個實數，使得
成立，則稱隨機變量X是一個穩定分布。其中，隨機變量和是的獨立樣本：符號“”表示分布相同。如果X和-X具有相同的分布，則稱穩定隨機變量為對稱穩定的。如果當時式(1)仍成立，則稱 為嚴格穩定的。
此定義表明，穩定隨機變量的加法是封閉的，而且其概率密度函數的卷積也是封閉的。若 是相互獨立的穩定隨機變量，并且具有相同的參數，則其線性組合也服從穩定分布，并且具有相同的參數。
則稱為穩定變量，其中 稱為特征指數(Characteristic Exponent)或穩定系數(Indexof Stability)。
吸引域定義
如果隨機變量存在一個吸收域，即存在一個獨立同分布的隨機變量序列 以及序列 使得
則稱隨機變量X是一個穩定分布。此定義也稱廣義中心極限定理，其中“”表示依分布收斂。特別地，如果滿足獨立同分布且具有有限方差，則高斯分布是其極限分布，式(3)便成為中心極限定理的原始表述。
特征函數定義
穩定分布并不存在統一、封閉的概率密度函數(Probability Density Functions，PDF)解析表達式，但它存在統一的特征函數(Characteristic Function，CF)。特征函數是表示 穩定分布最方便的方法，若隨機變量X服從穩定分布規律，當且僅當其特征函數滿足
式中： 為符號函數。可見，穩定分布的特征函數完全由4個參數唯一確定。符合特征函數式(4)的4個參數稱為標準參數系S，并記為 。
(1)稱為特征指數（Characteristic Exponent），它決定了穩定分布的概率密度函數拖尾厚度。它的值越小，分布的拖尾也就越厚，所以分布的沖擊性越強，即偏離中值的樣本個數越多：隨著值的不斷增大，分布的拖尾將變淺，沖擊強度降低，如圖1和圖2所示。特別說明，穩定分布當時退化為高斯(Gauss)分布，當并且時為奧古斯丁-路易·柯西(Cauchy)分布，為此我們定義為分數低階穩定分布，以區別于的高斯分布。
(2) γ為尺度參數(Scale parameter)或分散系數(Dispersion)，它是關于分布樣本偏離其均值的一種度量，其意義類似于高斯分布時的方差。實際上，在高斯分布情況下γ為方差的兩倍。
(3) β為偏斜參數(偏度 parameter)，它決定了分布的對稱程度。當時，該分布是對稱的，通常稱為對稱α穩定(Symmetric α-Stable，SaS)分布。高斯分布和柯西分布都屬于對稱α穩定分布，和好分別對應分布的左偏和右偏。
(4) δ為位置參數(Location parameter)。考慮到特征函數與其概率密度函數互為傅里葉變換，所以式4中的指數項表征了概率密度函數在X軸的偏移。對于分布而言，δ表示分布的均值或中值。當且時，則穩定分布稱為標準穩定分布。
穩定分布的性質
α穩定分布具有以下基本性質：
性質1
若 和 均是獨立的穩定隨機變量，那么其中
性質2
性質3
對于任意，有 。對于，稱 是左偏斜的：對于
，稱 是右偏斜的。當和時，分別對應完全左偏斜和完全右偏斜。
性質4
當且僅當時， 關于δ對稱的：當且僅當且時， 關于0對稱。
性質5
若 ，并且 那么存在兩個獨立同分布的隨機變量，具有分布 使下式成立，即
性質6
當 并且γ取固定值時，如果 ，且有 則對于所有的x滿足
性質7
若 ，且則對任意 有
對于任意有
這表明：當 時，分數低階穩定隨機變肇沒有有限的二階矩，許多在高斯情況下有效的技術不能應用于這種場合，例如譜分析和最小二乘方法等；當時，甚至沒有有限的—階矩，從而使數學期望的使用也受到影響。分數低階統計量是用來研究穩定分布的有力工具。
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