小波函數，又被稱為小波分析或小波變換，是一種使用具有有限長或快速衰減特性的震蕩波形來表示信號的方法。這種方法通過縮放和平移母小波來適應輸入信號的特點。
數學定義
縮放濾波器
小波可以通過縮放濾波器g來定義，這是一個低通有限脈沖響應（FIR）濾波器，其長度為2N且和為1。在雙正交小波的情況下，分解和重建的濾波器分別定義。高通濾波器的分析可以通過低通的QMF來計算，而重建濾波器則是分解的時間反轉。例如Daubechie和Symlet小波。
縮放函數
小波也可以通過縮放函數φ（t）來定義，它也被稱為父小波。小波函數實際上是一個帶通濾波器，每經過一級縮放，帶寬就會減半。這導致一個問題，即為了覆蓋整個頻譜，需要無限多個級別。縮放函數過濾掉小波變換的最低級別，從而確保整個頻譜都被覆蓋。對于具有緊支撐的小波，φ（t）可以被視為有限長，并等效于縮放濾波器g。例如Meyer小波。
表示
小波還可以僅通過時域表示，即小波函數ψ（t）。例如墨西哥帽小波。
變換比較
小波變換常與傅里葉變換相比較，后者使用正弦函數和余弦函數的組合來表示信號。小波變換的主要區別在于它在時間和頻率上都具有局部特性，而標準傅立葉變換則只是在頻率上具有局部特性。短時間傅立葉變換（STFT）也是一種時空局部化的處理方法，但它在頻率和時間分辨率方面存在問題，而小波變換通常通過多分辨率分析提供更好的信號表示。此外，小波變換的計算復雜度更低，只需O（N）時間，而快速傅立葉變換則需要O（N log N）時間，其中N代表數據大小。
應用
小波變換廣泛應用于各種領域，特別是在信號編碼和分析方面。DWT通常用于工程和計算機科學領域的信號編碼，而CWT則更多地用于科學研究。小波變換已經取代了傅里葉變換在許多物理領域的地位，包括分子動力學、天文物理學、地震地質物理學、光學、湍流和量子力學。其他受益于這一變革的學科還包括圖像處理、血壓、心率和心電圖分析、脫氧核糖核酸分析、蛋白質分析、氣象學、通用信號處理、語音識別、計算機圖形學和多分形分析。小波的一個重要應用是數據壓縮，它可以將原始數據（如圖像）轉換為已編碼的數據，實現有效壓縮。JPEG 2000就是一個采用小波的圖像標準。
發展歷史
小波的發展涉及多條研究路線，最早的Alfred Haar在20世紀初的工作奠定了基礎。Pierre Goupillaud、Alex Grossman和Jean Morlet提出了CWT（1982），Jan-Olov Str?mberg在離散小波方面的早期工作（1983），Ingrid Daubechies提出的緊支撐正交小波（1988），Stephane Mallat的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat提出的CWT時域頻域解釋（1991），以及David E. Newland的調和小波變換等人的貢獻。
參考資料 >
小波函數是什么？.CSDN博客.2024-10-31
小波變換.全知識.2024-10-31
小波變換的發展簡史.微信公眾平臺.2024-10-31