控制變量法（英語：control variates）是在蒙特卡洛方法中用于減少方差的一種技術方法。該方法通過對已知量的了解來減少對未知量估計的誤差。控制變量法，就是在研究和解決問題的過程中，對影響事物變化規律的因素或條件加以人為控制，使其中的一些條件按照特定的要求發生變化或不發生變化，最終解決所研究的問題。可以說任何物理實驗，都要按照實驗目的、原理和方法控制某些條件來研究。
原理
控制變量法的原理是通過引入一個已知期望值的統計量，即控制變量，來減少對未知量估計的誤差。假設要估計的參數為$\mu$，對于統計量$m$，其期望值為$\mu$，即$m$是$\mu$的無偏差估計。對于另一個統計量$t$，已知其期望值為$\tau$。通過引入控制變量$t$，可以得到新的估計$m^{\star}=m+c(t-\tau)$，其中$c$為任一給定系數。當$c$取最優值時，$m^{\star}$的方差最小，且與$m$和$t$之間的相關系數有關。當$\rho_{m,t}$越大時，方差越小。當$\textrm{Cov}(m,t)$、$\textrm{Var}(t)$或$\rho_{m,t}$未知時，可以通過蒙特卡洛模擬進行估計。由于該方法相當于一個最小二乘法系統，又被稱為回歸抽樣。
示例
控制變量法的一個示例是使用蒙特卡洛方法估計積分$I=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}}\,\mathrmrqywu8mx$，即估計$f(U)={\frac{1}{1+U}}$的期望值。其中，$U$滿足均勻分布。假設有$n$個樣本$u_{1},\cdots,u_{n}$，該估計可表示為$I\approx{\frac{1}{n}}\sum_{i}f(u_{i})$。引入控制變量$g(U)=1+U$，其已知期望值為$\mathbb{E}\left[g\left(U\right)\right]=\int_{0}^{1}(1+x)\,\mathrm3hhvtm3x={\tfrac{3}{2}}$。由此，可以得到新的估計$I\approx{\frac{1}{n}}\sum_{i}f(u_{i})+c\left({\frac{1}{n}}\sum_{i}g(u_{i})-3/2\right)$。當$n=1500$并使用估計的最優系數$c^{\star}\approx 0.4773$時，一次蒙特卡洛模擬所給出的積分估計值為$0.6929$。
應用
控制變量法在多個科學領域都有應用，包括物理學、統計學等。在物理學中，控制變量法常用于研究多因素問題，通過控制某些因素不變，研究其他因素對事物的影響。在統計學中，變量是研究對象的特征，可以是定性的也可以是定量的，一個定量變量要么是離散的要么是連續的。控制變量法在統計學中也被稱為回歸抽樣，用于研究變量之間的關系。
參考資料 >
控制變量法.知乎.2024-08-12
第二話 統計計算之蒙特卡洛積分和方差縮減技術(未完待續).CSDN博客.2024-08-12