反序數(shù)，是指在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱一個(gè)反序。一個(gè)排列中反序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的反序數(shù)，例如2431是1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字的一個(gè)四階排列，在這個(gè)排列中，21，43，41，31是反序，2431的反序數(shù)就是4，而排列45321的反序數(shù)是9。
求反序數(shù)的方法是從整數(shù)的末尾依次截取最后一位數(shù)字，每截取一次后整數(shù)縮小十倍，將截取的數(shù)字作為新的整數(shù)的最后一位（新的整數(shù)擴(kuò)大十倍后加上被截取的數(shù)字）。這樣原來(lái)整數(shù)的數(shù)字從低到高被不斷地截取，依次作為新的整數(shù)的從高到低的各位數(shù)字。
基本介紹
排列把n個(gè)不同的元素按一定的順序排成一行(?)，稱為這n個(gè)元素的一個(gè)排列，為了方便起見(jiàn)，這里只用到前n個(gè)自然數(shù)?的排列。
n階排列由組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列，通常用?表示n階排列。如2341是一個(gè)四階排列，25134是一個(gè)五階排列。
自然排列n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用?表示，從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有n種取法；又從剩下的?各種元素中任取一個(gè)放在第二個(gè)位置上，有?種取法；這樣繼續(xù)下去，直到最后只剩下一個(gè)元素放在第n個(gè)位置上，只有一種取法，于是?。如1，2，3這三個(gè)自然數(shù)組成的所有三階排列：123，132，213，231，312，321，其種數(shù)?。是一個(gè)n階排列，它具有自然順序，稱為自然排列(或標(biāo)準(zhǔn)排列)，在這個(gè)排列中的任何兩個(gè)數(shù)，小的數(shù)總排在大的數(shù)前面。
反序、反序數(shù)一個(gè)排列中，如果一個(gè)大的數(shù)排在小的數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成個(gè)反序、一個(gè)排列的反序總數(shù)稱為這個(gè)排列的反序數(shù)。用?表示排列?的反序數(shù)。
奇排列、偶排列?反序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，反序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。
例1?在四階排列2341中，共有反序21，31，41，即?，所以2341是奇排列。
在五階排列25134中，共有反序21，51，53，54，即?，所以25134是偶排列。
例2?自然排列的反序數(shù)，所以是偶排列；而n階排列的反序數(shù)，所以，當(dāng)n=4k或4k+1時(shí)，是偶排列，而當(dāng)n=4k+2或4k+3時(shí)，是奇排列。
求反序時(shí)，可以從前到后將相鄰的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，求出反序及反序數(shù)，也可從首位數(shù)開(kāi)始找出每個(gè)數(shù)與其前面數(shù)的反序，(此時(shí)首位數(shù)的反序?yàn)?)，這些反序相加即為反序數(shù)??。
概念與性質(zhì)
在一個(gè)排列中，交換其中某兩個(gè)數(shù)的位置，而其余各數(shù)位置不動(dòng)，就得到另一個(gè)同階的新排列。對(duì)排列施行的這樣一個(gè)交換稱為一個(gè)對(duì)換，將相鄰兩個(gè)數(shù)對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換。
定理1對(duì)換改變排列的奇偶性。即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列。
推論在全部?階排列中，奇、偶排列各占一半，即各有?個(gè)。
定理2任意一個(gè)n階排列可經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列，并且所作對(duì)換次數(shù)的奇偶性與這個(gè)排列的奇偶性相同。
參考資料 >