二叉堆（英語：binary heap）是一種特殊的堆，二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。二叉堆滿足堆特性：父節點的鍵值總是保持固定的序關系于任何一個子節點的鍵值，且每個節點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆。當父節點的鍵值總是大于或等于任何一個子節點的鍵值時為“最大堆”。當父節點的鍵值總是小于或等于任何一個子節點的鍵值時為“最小堆”。
存儲
二叉堆一般用數組來表示。如果根節點在數組中的位置是1，第n個位置的子節點分別在2n和2n+1。因此，第1個位置的子節點在2和3，第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基于1的數組存儲方式便于尋找父節點和子節點。如果存儲數組的下標基于0，那么下標為i的節點的子節點是2i + 1與2i + 2；其父節點的下標是?floor((i ? 1) ∕ 2)?。對于一個很大的堆，這種存儲是低效的，因為節點的子節點很可能在另外一個內存頁中。B-heap是一種效率更高的存儲方式，把每個子樹放到同一內存頁。如果用指針鏈表存儲堆，那么需要能訪問葉節點的方法。可以對二叉樹“穿線”(threading)方式，來依序遍歷這些節點。
基本操作
在二叉堆上可以進行插入節點、刪除節點、取出值最小的節點、減小節點的值等基本操作。
插入節點
在數組的最末尾插入新節點。然后自下而上調整子節點與父節點（稱作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比較當前節點與父節點，不滿足“堆性質”則交換。從而使得當前子樹滿足二叉堆的性質。時間復雜度為O(計程儀 n)。
刪除根節點
刪除根節點用于堆排序。對于最大堆，刪除根節點就是刪除最大值；對于最小堆，是刪除最小值。然后，把堆存儲的最后那個節點移到填在根節點處。再從上而下調整父節點與它的子節點：對于最大堆，父節點如果小于具有最大值的子節點，則交換二者。這一操作稱作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至當前節點與它的子節點滿足“堆性質”為止。
構造二叉堆
一個直觀辦法是從單節點的二叉堆開始，每次插入一個節點。其時間復雜度為O(n log n)。最優算法是從一個節點元素任意放置的二叉樹開始，自底向上對每一個子樹執行刪除根節點時的Max-Heapify算法（這是對最大堆而言）使得當前子樹成為一個二叉堆。具體而言，假設高度為h的子樹均已完成二叉堆化，那么對于高度為h+1的子樹，把其根節點沿著最大子節點的分枝做調整，最多需要h步完成二叉堆化。可以證明，這個算法的時間復雜度為O(n)。
合并兩個二叉堆
最優方法是把兩個二叉堆首尾相連放在一個數組中，然后構造新的二叉堆。時間復雜度為O(log n log k)，其中n、k為兩個堆的元素數目。如果經常需要合并兩個堆的操作，那么使用二項式堆更好，其時間復雜度為O(log n)。
參考資料 >