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積分第一中值定理是積分中值定理的推廣之一，此外還有積分第二中值定理。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值，或者是將復雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法。是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。
定理定義
如果函數 在閉區間 上連續，在 上不變號，并且 在閉區間 上是可積的，則在 上至少存在一個點，使下式成立：
定理證明
由于 在 上不變號，不妨設。并且由 在 上的連續性可知， 在 上存在最大值 和最小值 ，使得 ，將不等式兩邊同時乘以，得到：
對上式在上 取積分得:
若 ，上式等號成立，，定理顯然成立。
若，不等式兩邊同除以，有
由介值定理，存在，使得，即。
定理得證。
應用實例
求極限
解：取 為， ， ，則， ，并有
由于 有界，因此
即原式的極限為0。
參考資料 >