張角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一點，連結(jié)AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。
內(nèi)容
逆定理：如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三點共線。
定理的推論：
在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC
證明
證法1：
設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD
由分角定理，
S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)
→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)
S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)
→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)
(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。
證法2：
由正弦定理，
AD/sinB=BD/sin∠1， (2.1)
AD/sinC=CD/sin∠2， (2.2)
AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)， (2.3)
AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)； (2.4)
那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，從而
BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC) (2.5)
由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。
將以上兩式相加，并將(2.5)代入即可。
證法3：
由面積和得：
0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC
應(yīng)用
把平面幾何和三角函數(shù)緊密相連，它給出了用三角法處理平面幾何問題的一個頗為有用的公式，并且是一個非常有效的證明三點共線的手段。用它去解幾何題，適當(dāng)?shù)嘏浜先切蚊娣e公式、正弦定理、三角公式、幾何知識，可以大大簡化解題步驟，眾多的幾何問題可以得到簡捷統(tǒng)一的解決。
參考資料 >