點群（小數點 group）是指一個三維的有限圖形或物體中全部對稱要素的集合。在數學中，點群特指固定一點不動的幾何對稱（等距同構）的群，存在于任何維度的歐幾里得空間中。
簡介
點群不僅存在于三維空間，它們也可以在任何維度的歐幾里得空間中找到。在二維空間中，點群有時被稱為野薔薇圖案群（rosette group），這種群體常用于描述裝飾品的對稱性。而在三維空間中，點群被廣泛應用于化學領域，尤其是在描述分子的對稱性以及形成共價鍵的分子軌道時，有時也被稱為分子點群。根據晶體局限定理，每個維度中都存在無限多個離散點群，但只有有限多個點群與平移對稱相容。具體來說，在一維空間中有2個，二維空間中有10個，而三維空間中有32個，這些特定的點群被稱為晶體點群。
二維中
二維點群可以根據其對稱性的不同分為兩類：僅具有旋轉對稱性的和同時具有旋轉及鏡射對稱性的。循環群Cn（Zn抽象群類型）由360/n度及其整數倍的旋轉構成。例如，卐符號的對稱群C4，包含了0度、90度、180度及270度的旋轉。而正方形的對稱群屬于二面體群Dn（Dihn抽象群類型），包含了與旋轉對稱性數量相同的鏡射對稱性。圓由于其無限的旋轉對稱性，也具有無限的鏡射對稱性，但在形式上，圓群S1與Dih（S1）是不同的，因為它明確地包含了鏡射。此外，一個無限群并不需要是連續的，例如存在一個由360/√2度的整數倍旋轉組成的群，但其中不包含180度的旋轉。Cn和Dn群中n=1,2,3,4,6的情況可以與平移對稱相結合，有時甚至可以以多種方式結合，因此這十個群可以產生出17個壁紙群。
一般性
在任何維度d的空間中，所有可能的定點等距同構的連續群都是正交群，標記為O(d)；而所有可能的旋轉對稱性的連續子群則是特殊正交群，標記為SO(d)。這些標記并非來自向夫立符號，而是源自李群理論中的習慣用法。
參考資料 >