測度空間是設(shè)X為集合，Ω為X的子集組成的σ代數(shù)，μ為Ω上的非負測度，則三元組(X,Ω,μ)為測度空間。
簡介
二元組（ X， F），其中F只要滿足三個條件就可以了，這樣就可以對 F中的元素定義測度，所以F中的元素叫可測集，但是這時許多人會犯一個致命的錯誤，認為對 F加了限制，排除了一些不可測集。其實我們可以取 F為 X的子集全體，這時（ X， F）就是一個可測空間，我們可以給 F中的元素定義測度。定義了測度（例如記做 m）的可測空間叫測度空間，記做（ X， F， m），是個三元組。
測度
測度，是數(shù)學(xué)術(shù)語，釋義是構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。測度有計數(shù)測度、勒貝格測度、哈爾測度、概率測度等。構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。
具體定義：
定義1：構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。
定義2：設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數(shù)，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性）對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測度。
可測空間
可測空間是一個文縐縐的用語。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素上個世紀(jì)提出了一個悖論，使得集合論的推理發(fā)生了嚴(yán)重的危機，也就是說基本的假設(shè)按照通常的推理會出現(xiàn)問題，這個問題大家又解決不了，但這個世界上聰明人很多，既然解決不了那就不解決，把這個問題繞過去，于是可測集的概念就應(yīng)運而生，因為對極端的情況處理不了，所以就不考慮極端的情況，把能處理的情況放在一起，這樣推論就不會產(chǎn)生矛盾了。 X是任意集合， F是把 X中極端的情況去掉后由 X的子集所組成的集合，這樣去掉了不能處理的集合，剩下來的都是可以處理的，所以（ X， F）就叫可測集了。
F取得太大，可能導(dǎo)致無法定義合適的測度。例如取 R的全體子集作為 F，那么我們沒有辦法將區(qū)間長度這個合適的測度概念定義在 F的每個元素上， F太大了。縮小 F為小一點的σ域 F'，使得 F' 包括所有的區(qū)間，而且其中的元素都有測度 L，而且 L是區(qū)間長度概念的自然推廣，就得到所謂勒貝格測度空間(R,F',L)， F' 中的元素叫勒貝格可測集，而相應(yīng)的測度 L叫勒貝格測度。
所以可測空間中的可測集和測度無關(guān)，測度空間中的可測集和測度有關(guān)。
概率論研究的概率空間就是一個測度空間（ X， F， P），其中 P是定義在 F中的測度，叫概率測度。集合 X我們一般叫做樣本空間， F中的元素叫可測集，但是我們更愿意叫做事件，而把 F叫做事件域。任取 F中元素 A，它是 X的子集，這時是一個事件，它的測度 P（ A）就是事件 A的概率。可見這三元組（ X， F， P）中的東西缺一不可。
參考資料 >