正十六胞體(Hexadecachoron，16-cell)，是一個(gè)四維空間里的幾何產(chǎn)物，正多胞體的其中一種。它是正八面體（三維正軸體）的四維類比，是四維的正軸體。
簡(jiǎn)介
它的施萊夫利符號(hào)為，或，是超立方體的對(duì)偶。
其頂點(diǎn)圖是正八面體，正16胞體每條棱上有4個(gè)正四面體。
另外，它有下列幾種別名：
正四面體反棱柱(Tetrahedron antiprism)、
Tetracross（四維正軸體，沒有官方中文翻譯）、
4-orthoplex（即正四面體反棱柱，orthoplex和cross都指代同一個(gè)多胞體，但意義不同）、
Demitesseract（半截超立方體，指代超立方體每個(gè)面上連線得到的東東，沒有官方中文翻譯）
計(jì)算
對(duì)于一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正16胞體，其超體積為，超表面積為，對(duì)角線長(zhǎng)為a。
投影
施萊格爾投影
正八面體我們一定不陌生，但是看過右圖的恐怕就不多了。
右圖是當(dāng)一個(gè)人對(duì)著正八面體的一個(gè)面靠近的很近的時(shí)候會(huì)看到的——準(zhǔn)確地說眼睛是在這個(gè)正八面體的外接球面上看到的。這就是正八面體的施萊格爾投影。
可以看到這個(gè)投影中外面是一個(gè)大正三角形，里面是一個(gè)小的倒正三角形。
運(yùn)用類比，把正三角形變成正四面體：一個(gè)正四面體和一個(gè)倒正四面體，再各自連上線，如右下圖，這就得到了一個(gè)正十六胞體的施萊格爾投影圖。細(xì)心點(diǎn)數(shù)的話可以數(shù)得出，該圖中有16個(gè)四面體（包括最外部的那個(gè)），同時(shí)我們得到了正十六胞體的一些數(shù)據(jù)：
胞（正四面體）數(shù)：16，面（正三角形）數(shù)：32，棱數(shù)：24，頂點(diǎn)數(shù)：8
球極投影
將正十六胞體的表面膨脹使之成為一個(gè)超球，然后投影到三維上，如圖。
二維線架正投影
和超正方體的差不多，不過要簡(jiǎn)單得多，建立一個(gè)平面上的四維投影坐標(biāo)軸，寫入八個(gè)點(diǎn)：即可，如右圖
施萊夫利符號(hào)
正十六胞體16-cell的施萊夫利符號(hào)也有好幾個(gè)
：特指它是正多胞體Hexadecachoron，以及它是Trteacross
：特指它是n-orthoplex或n-demicube，即代指4-orthoplex和Demitesseract
：特指它是半截超立方體（alternated tesseract）
等等
類比
雖然說上去正十六胞體是正八面體的四維類比，但實(shí)際上正十六胞體可通過兩種類比方式得到
一、正八面體的類比
利用坐標(biāo)，四個(gè)點(diǎn)連線可以得到一個(gè)正方形，即二維的正軸體
利用坐標(biāo)六個(gè)點(diǎn)連線可以得到一個(gè)正八面體，即三維的正軸體
那么用八個(gè)點(diǎn)連線，就能得到這個(gè)正十六胞體，即四維的正軸體
這是一種正多胞形的類比
二、正四面體的類比
將一個(gè)正方形不相鄰的兩點(diǎn)連線，得到一個(gè)正二邊形（半截正方形Demisquare）
將一個(gè)立方體兩兩不相鄰的四個(gè)點(diǎn)沿各自的面連線，得到一個(gè)正四面體（半截立方體Demicube）線架圖
同樣地，將一個(gè)超立方體兩兩不相鄰的八個(gè)點(diǎn)沿各自的面連線后，則會(huì)得到正十六胞體（半截超立方體Demitesseract）的線架圖
盡管正四面體、正十六胞體，但這不是一種正多胞形的類比，在五維以及更高得到的就不是正多胞形
二胞角
對(duì)于的二胞角的求導(dǎo)是要用到四維解析幾何慢慢求的，太麻煩，不妨就用第一種類比法去求 二維正軸形是正方形，它的“二邊角”（也就是夾角）是，用反三角函數(shù)表示就是
三維正軸形是正八面體，它的二面角約是，用反三角函數(shù)表示就是
那么作為四維正軸形的正十六胞體，它的二胞角用反三角函數(shù)表示就應(yīng)該是，即
整數(shù)度？很神奇吧，這就是四維空間的一大魅力所在
與正八胞體聯(lián)系
將正十六胞體中每個(gè)正四面體中心作中心所在正四面體的正三角形面垂線得正八胞體，正八胞體作類似處理也可以得正十六胞體，這種性質(zhì)稱為對(duì)偶。
參考資料 >