大樣本統計，數理統計學重要分支。研究樣本容量n→∞時，統計量和統計方法的極限性質。在n→∞時得到的性質，叫大樣本性質；根據極限性質而得到的方法，叫大樣本方法。與大樣本性質相對．在樣本容量n周定時獲得的性質和方法，分別稱為小樣本性質和小樣本方法。區分大和小的界線是樣本容量n趨于無窮還是固定，并不在于n大小。
基本介紹
研究樣本大小n趨于無限時，統計量和相應的統計方法的極限性質(又稱漸近性質)，并據以構造具有特定極限性質的統計方法。例如，用樣本均值估計總體均值θ，在時，以概率1收斂于θ(見概率論中的收斂)，稱為θ的強相合估計。
的這個性質只有在時才有意義，這叫做大樣本性質，而強相合性的研究屬于大樣本統計的范圍。根據統計量的極限性質而得出的統計方法稱為大樣本方法。例如：設是從正態總體中抽出的樣本，μ和σ未知，要作μ的區間估計。記樣本方差為當依分布收斂于標準正態分布。基于這個性質可知，當n較大時，可用作為μ的區間估計，其中是標準正態分布的上分位數（見概率分布）；這個估計的置信系數當時趨于指定的。這就是一個大樣本方法。
與大樣本性質和大樣本方法相對，小樣本性質是指在樣本大小n固定時統計方法的性質，小樣本方法是指基于n固定時的統計量性質的統計方法。如上述第一例，當n固定時有
即為θ的無偏估計(見點估計);的這個性質在n固定時有意義，所以是小樣本性質。又如，英國統計學家W.S.戈塞特(又譯哥色特，筆名“學生”)在1908年找到了的精確分布為自由度是的t分布(見統計量)。基于此事實，可知對任何固定的n，μ的區間估計具有確切的置信系數。其中是自由度為的t分布上分位數。這個性質對任何固定的n都成立。因而上述區間估計是小樣本方法。總之，區分大、小樣本性質（或方法）的關鍵在于樣本大小n是趨于無限還是固定，而不在于n數值的大小。
小樣本方法也稱為“精確方法”，因為它往往是基于有關統計量的精確分布（如前例中的t分布）;與此相應，小樣本方法的統計特性，如顯著性水平（見假設檢驗）、置信系數(見區間估計)等，往往是精確而非近似的。與此相對，大樣本方法也稱為“漸近方法”或“近似方法”，因為它是基于統計量的漸近分布，且有關的統計特性只是近似而非精確的。在應用中，樣本大小n總是一個有限數，這里就有一個近似程度如何的問題。如在對中的μ作區間估計的例子中，指定的置信系數為0.95，按大樣本理論作出區間估計
當時，其置信系數趨于0.95，但即使n很大，置信系數也只是接近而非確切等于0.95。為了在使用它時做到心中有數，需要在n固定的情況下，對真實的置信系數與其近似值0.95的差距作出有用的估計，在大樣本方法的使用中，一般都存在此問題。但由于數學上的困難，目前使用的許多大樣本方法中，通常很少有有效的誤差估計，這是大樣本方法的弱點。然而它仍有重要的理論和實際意義：它不僅提供了一批可供選用的統計方法，而且，經驗證明，當一個統計方法不具備某些基本的大樣本性質（如相合性）時，常常也很難有良好的小樣本性質。評價一個統計方法的優良性時，大樣本性質是不可忽視的。
相合性，是一項重要的大樣本性質。一般地說，統計方法的相合性是指：只要樣本大小n足夠大，則使用這個統計方法時，可以用任意確切的程度回答所提出的統計推斷問題。例如，估計的相合性是表示，當時，估計量在一定意義下，如依概率收斂或幾乎必然收斂或以r階平均收斂(見概率論中的收斂)于被估計值。檢驗的相合性是指它在任意指定的備擇假設處的功效當時趨于1。相合性是最基本也是最容易滿足的大樣本性質。還有漸近無偏性、漸近有效性（見點估計）、和漸近正態性，或更一般地，漸近于某種特殊的極限分布的性質，也都是重要的大樣本性質。
大樣本統計的發展，依賴于概率論的極限理論，它在一定程度上已構成概率論極限理論的一個方面。1900年K.皮爾森證明了關于擬合優度的Ⅹ統計量的分布漸近于Ⅹ分布的著名定理，可以作為大樣本理論的發端。更早一些，在概率論中就證明了關于二項分布漸近于正態分布的定理，這個定理也可用于大樣本統計方法（求二項分布參數的大樣本區間估計），但習慣上把這定理看作是純粹概率論的定理。自1900年以后，特別是二次大戰后的30多年中，大樣本理論發展很快，達到了相當深入的地步，重要的結果有：關于擬合優度的Ⅹ檢驗漸近于Ⅹ分布的理論，最大似然估計及一般漸近有效估計的理論，似然比檢驗及一般漸近有效估計的理論，穩健估計大樣本理論以及非參數統計中大量的大樣本理論。現在，大樣本理論在數理統計學中仍是一個活躍的研究方面。（見假設檢驗、點估計、穩健統計）
參考書目
J.Serfling，ApproxiMationTheoremsinMatheMaticalStatistics，JohnWiley&Sons，紐約，1980.
參考資料 >