一致空間是帶有用來(lái)定義一致性質(zhì)如完備性、一致連續(xù)和一致收斂的附加結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g。
主要介紹
在一致結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的概念區(qū)別是在一致空間內(nèi)可以形式化有關(guān)于相對(duì)鄰近性和點(diǎn)間臨近性的特定概念。換句話說(shuō)，想法如“x鄰近于 a勝過(guò) y鄰近于 b”在一致空間是有意義的。相對(duì)的，在一般拓?fù)淇臻g內(nèi)，給定集合 A, B只能有意義的說(shuō)點(diǎn) x“任意鄰近”A（就是說(shuō)在 A 的閉包中），或者說(shuō) A是比 B更小的 x的“鄰域”，但是點(diǎn)間鄰近性和相對(duì)鄰近性不能單獨(dú)用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述。
一致空間推廣了度量空間和拓?fù)淙阂虼耸嵌鄶?shù)數(shù)學(xué)分析的根基。
定義
一致空間有三個(gè)等價(jià)定義。
周圍定義
一致空間(X, Φ) 是集合X配備了勒內(nèi)·笛卡爾積X× X的非空子集族（Φ 叫做 X的一致結(jié)構(gòu)或一致性而它的元素叫做周圍（法語(yǔ)entourage：鄰居或周圍））滿足如下公理：
如果 U在 Φ 中，則 U包含對(duì)角 Δ = { (x, x) : x∈ X}。
如果 U在 Φ 中而 V是包含 U的 X× X的子集，則 V在 Φ 中。
如果 U和 V在 Φ 中，則 U∩ V在 Φ 中。
如果 U在 Φ 中，則存在 V在 Φ 中，使得只要 (x, y) 和 (y, z) 在 V中，則 (x, z) 在 U中。
如果 U在 Φ 中，則 U= { (y, x) : (x, y) ∈U} 也在 Φ 中。
如果省略了最后的性質(zhì)則稱空間為準(zhǔn)一致的。
通常寫(xiě) U[x]={y : (x,y)∈U}。在圖形上，典型的周圍被繪制為圍繞“y=x”對(duì)角的斑點(diǎn)；U[x] 們則為縱截面。如果 (x,y) ∈ U，則可以說(shuō) x和 y是“U-鄰近”的。類似的，如果在 X的子集 A中的所有成對(duì)的點(diǎn)都是 U-鄰近的（就是說(shuō)如果 A× A被包含在 U中），則 A被稱為“U-小”的。周圍 U是對(duì)稱的，如果 (y,x) ∈ U正好在 (x,y) ∈ U的時(shí)候。第一個(gè)公理聲稱對(duì)于每個(gè)周圍 U每個(gè)點(diǎn)都是 U-鄰近于自身。第三個(gè)公理保證“同時(shí) U-鄰近和 V-鄰近二者”也是在一致性中的鄰近關(guān)系。第四個(gè)公理聲稱對(duì)于每個(gè)周圍 U都有一個(gè)周圍 V是“一半大”的。最后的公理聲稱“鄰近”關(guān)于一致結(jié)構(gòu)的本質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)。
一致性 Φ 的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)是 Φ 的周圍的任何集合 B，使得所有 Ф 的周圍包含屬于 B的一個(gè)集合。因此，通常上述性質(zhì) 2，基礎(chǔ)周圍系統(tǒng) B足夠無(wú)歧義的指定一致 Φ: Φ 是包含 B的一個(gè)集合的 X× X的子集的集合。所有一致空間都用由對(duì)稱周圍構(gòu)成的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)。
關(guān)于一致性的正確直覺(jué)可由度量空間的實(shí)例提供：如果 (X,d) 是度量空間，集合
這里的
形成了 X的標(biāo)準(zhǔn)一致結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)。則 x和 y是 Ua-鄰近的，正好在 x與 y之間距離最多為 a的時(shí)候。
一致性 Φ “精細(xì)”于在同一個(gè)集合上的另一個(gè)一致性 Ψ，如果 Φ ? Ψ；此時(shí) Ψ 被稱為“粗糙”于 Φ。
偽度量定義
一致空間可以使用偽度量系統(tǒng)來(lái)等價(jià)的定義，這是對(duì)泛函分析（帶有半范數(shù)提供的偽度量）特別有用的方式。更精確地說(shuō)，設(shè) f: X× X→ R是在集合 X上的偽度量。逆像 Ua= f（[0,a]）對(duì)于 a> 0 可以被證實(shí)形成了一致的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)。由 Ua生成的一致是由單一的偽度量 f所定義的一致。
對(duì)于在 X上的偽度量族 (fi)，這個(gè)族所定義的一致結(jié)構(gòu)是單獨(dú)偽度量 fi所定義的一致結(jié)構(gòu)的“最小上界”。這個(gè)一致性的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)由單獨(dú)偽度量 fi所定義的一直的周圍的有限交集的集合來(lái)提供。如果偽度量的族是有限的，可以看出同樣的一致結(jié)構(gòu)可以定義自單一的偽度量，就是這個(gè)族的“上包絡(luò)” sup fi。
更少瑣碎的，可證實(shí)允許可數(shù)的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)（并因此特別為由可數(shù)的偽度量族定義的一致）可以定義自一個(gè)單一偽度量。結(jié)論是任何一致結(jié)構(gòu)都可以如上述那樣的定義自（可能不可數(shù)）偽度量族（參見(jiàn) Bourbaki：《General Topology》 Chapter IX §1 no. 4）。
一致覆蓋定義
一致空間(X,Θ) 是集合 X配備顯著的“一致覆蓋”族 Θ，它來(lái)自 X的覆蓋的集合，在按星號(hào)精致排序的時(shí)候形成了濾子。你可以稱呼覆蓋 P是覆蓋 Q的星號(hào)精致(refinement)寫(xiě)為 P<*Q，如果對(duì)于所有 A∈P，有 U∈Q使得如果 A∩B≠?，B∈P，則 B?U。公理化可簡(jiǎn)約為：
{X} 是一致覆蓋。
如果 P<*Q并且 P是一致覆蓋，則 Q也是一致覆蓋。
如果 P并且 Q是一致覆蓋，則有一致覆蓋 R精致 P和 Q二者。
給定一個(gè)點(diǎn) x和一致覆蓋 P，可以把包含 x的 P的成員的并集認(rèn)為是 x的大小 P的典型鄰域，并且這個(gè)直覺(jué)度量一致的適用在這個(gè)空間之上。
給定在周圍意義上的一個(gè)一致空間，定義覆蓋 P為一致的，如果存在某個(gè)周圍 U使得對(duì)于每個(gè) x∈X，有一個(gè) A∈P使得 U[x]?A。這些一致覆蓋形成了第二種定義的一致空間。反過(guò)來(lái)說(shuō)，給定在一致覆蓋意義上的一個(gè)一致空間， ∪{A×A : A∈P} 的超集，因?yàn)?P取值于一致覆蓋上，是第一種定義的一致空間的周圍。此外，這兩個(gè)變換是互逆的。
一致空間的拓?fù)?/h2>
所有一致空間 X都可以變成拓?fù)淇臻g，通過(guò)定義 X的子集 O為開(kāi)集，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有 O中的 x存在周圍 V使得 V[x] 是 O的子集。在這個(gè)拓?fù)渲校c(diǎn) x的鄰域?yàn)V子是 {V[x]:V∈Φ}。這可以通過(guò)遞歸的使用“一半大”周圍的存在性來(lái)證明。相較于一般拓?fù)淇臻g，一致結(jié)構(gòu)的存在性使得比較鄰域大小成為可能：V[x] 和 V[y] 被認(rèn)為是“一樣大”。
一致結(jié)構(gòu)所定義的拓?fù)浔环Q為引發(fā)自一致性。在拓?fù)淇臻g上一致結(jié)構(gòu)兼容于這個(gè)拓?fù)?，如果這個(gè)一致結(jié)構(gòu)定義的拓?fù)渫畛醯耐負(fù)湎喾?。一般的說(shuō)有多個(gè)不同的一致結(jié)構(gòu)可以兼容于在 X上的給定拓?fù)洹?/p>
可一致化空間
拓?fù)淇臻g被稱為可一致化的，如果一致結(jié)構(gòu)兼容于這個(gè)拓?fù)洹?/p>
所有可一致化空間是完全正則拓?fù)淇臻g。此外，對(duì)于可一致化空間 X下列等價(jià)：
X是柯?tīng)柲宸蚩臻g
X是豪斯多夫空間
X是吉洪諾夫空間
對(duì)于任何兼容的一致結(jié)構(gòu)，所有周圍的交集是對(duì)角 {(x, x) : x∈ X}。
可一致化空間的拓?fù)淇偸菍?duì)稱拓?fù)?；就是說(shuō)這個(gè)空間是 R0空間。
反過(guò)來(lái)說(shuō)，每個(gè)完全正則空間都是可一致化的。兼容于完全正則空間 X的拓?fù)涞囊粋€(gè)一致性可以定義為最粗糙一致性，它使得所有 X上的連續(xù)實(shí)數(shù)值函數(shù)為一致連續(xù)。這個(gè)一致性的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)提供為集合 (f× f)(V) 的所有有限交集，這里的 f是 X上的連續(xù)實(shí)數(shù)值函數(shù)而 V是一致空間 R的周圍。這個(gè)一致性定義了一個(gè)拓?fù)?，它明顯的粗糙于 X的最初拓?fù)?；并且它還精細(xì)于最初的拓?fù)洌ㄒ虼伺c它相符合）是完全正則性的簡(jiǎn)單推論：對(duì)于任何 x∈ X和 x的鄰域 V，有連續(xù)實(shí)數(shù)值函數(shù) f有著 f(x)=0 并對(duì)于 V的補(bǔ)集中的點(diǎn)等于 1。
特別是，緊致豪斯多夫空間是可一致化的。事實(shí)上，對(duì)于緊致豪斯多夫空間 X在 X× X中對(duì)角的所有鄰域的集合形成了唯一的兼容于這個(gè)拓?fù)涞囊恢滦浴?/p>
豪斯多夫一致空間是可度量空間，如果它的一致性可以定義自為可數(shù)的偽度量族。實(shí)際上，如在上面?zhèn)味攘慷x中討論的，這種一致性可以定義自單一的偽度量，如果這個(gè)空間是豪斯多夫的，則它必然是度量。特別是，如果矢量空間的拓?fù)涫呛浪苟喾虻牟⑶铱啥x自可數(shù)的半范數(shù)族，則它是可度量的。
一致連續(xù)
類似于在拓?fù)淇臻g之間保持拓?fù)湫再|(zhì)的連續(xù)函數(shù)，在一致空間之間的一致連續(xù)函數(shù)保持一致性質(zhì)。帶有一致映射的一致空間形成了范疇。在一致空間之間的同構(gòu)叫做一致同構(gòu)。
一致連續(xù)函數(shù)被定義為其周圍的逆像還是周圍的函數(shù)，或等價(jià)的說(shuō)，一致覆蓋的逆像還是一致覆蓋的函數(shù)。
所有一致連續(xù)函數(shù)都關(guān)于引發(fā)的拓?fù)涫沁B續(xù)的。
完備性
推廣完備度量空間的概念，你也可以定義一致空間的完備性。替代柯西序列，轉(zhuǎn)而使用柯西濾子（或柯西網(wǎng)）。
在一致空間 X上的柯西濾子F是濾子F使得對(duì)于所有周圍 U，存在 A∈F有著 A×A? U。換句話說(shuō)，一個(gè)濾子是柯西濾子，如果它包含“任意小”集合?？蓮亩x中得出每個(gè)（關(guān)于這個(gè)一直結(jié)構(gòu)定義的拓?fù)洌┦諗康臑V子都是柯西濾子。柯西濾子叫做“極小”的，如果不包含更?。ň褪歉郑┑目挛鳛V子（除了自己）。可以證明所有柯西濾子包含一個(gè)唯一的“極小柯西濾子”。每個(gè)點(diǎn)的鄰域?yàn)V子（由這個(gè)點(diǎn)的所有鄰域構(gòu)成的濾子）是極小柯西濾子。
反過(guò)來(lái)說(shuō)，一致空間稱為完備的，如果所有柯西濾子收斂。任何緊致豪斯多夫空間都是關(guān)于兼容于這個(gè)拓?fù)涞囊恢陆Y(jié)構(gòu)的完備一致空間。
完備一致空間享有如下重要性質(zhì)：如果 f: A→ Y是從一致空間 X的稠密子集 A到完備一致空間 Y的一致連續(xù)函數(shù)，則 f可以擴(kuò)張（唯一的）成在整體 X上的一致連續(xù)函數(shù)。
一致空間的豪斯多夫完全
如同度量空間，所有一致空間 X都豪斯多夫完全：就是說(shuō)存在一個(gè)完備豪斯多夫一致空間 Y和一致連續(xù)映射 i: X→ Y帶有如下性質(zhì)：
對(duì)于任何從 X到完備豪斯多夫一致空間 Z的一致連續(xù)映射 f，存在一個(gè)唯一的一致連續(xù)映射 g: Y→ Z使得 f= gi。
豪斯多夫完全 Y是唯一的上至同構(gòu)。作為一個(gè)集合 Y可以選取為由 X上的極小柯西濾子組成。作為每個(gè) X中點(diǎn) x的鄰域?yàn)V子 B(x)，映射 i可以被定義為把 x映射到 B(x)。如此定義的映射 i一般不是單射；事實(shí)上，等價(jià)關(guān)系 i(x) = i(x') 的圖象是 X的所有周圍的交集，因此 i是單射正好在 X是豪斯多夫空間的時(shí)候。
在 Y上的一致結(jié)構(gòu)定義如下：對(duì)于每個(gè)對(duì)稱周圍 V（就是說(shuō)使得 (x,y) 在 V中正好在 (y,x) 在 V的時(shí)候），設(shè) C(V) 是“至少共有一個(gè) V-小集合”的所有極小柯西濾子的對(duì) (F,G) 的集合。集合 C(V) 可以被證實(shí)形成了基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)；如此就定義了配備了這個(gè)一致結(jié)構(gòu)的 Y。
集合 i(X) 因此是 Y的稠密子集。如果 X是豪斯多夫空間，則 i是到 i(X) 的同構(gòu)，因此 X可用它的完全的稠密子集來(lái)識(shí)別。此外，i(X) 總是豪斯多夫的；它叫做關(guān)聯(lián)于 X的豪斯多夫一致空間。如果 R指示等價(jià)關(guān)系 i(x) = i(x')，則商空間 X/R同胚于 i(X)。
例子
所有度量空間(M, d) 都可被當(dāng)作一致空間。實(shí)際上因?yàn)槎攘渴钱?dāng)然的偽度量，上文的偽度量定義給出了 M的一致結(jié)構(gòu)。這個(gè)一致性的基礎(chǔ)周圍系統(tǒng)提供自集合。這個(gè) M的一致結(jié)構(gòu)生成了在 M上的正常度量空間拓?fù)?。但是，不同的度量空間可以有相同的一致結(jié)構(gòu)（平凡的例子可通過(guò)度量的常數(shù)提供）。這個(gè)一致結(jié)構(gòu)還生成一致連續(xù)和度量空間的完備性的等價(jià)定義。
使用度量，可以構(gòu)造有相符合拓?fù)涞牟煌恢陆Y(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單例子。例如，設(shè) d1(x,y) = | x ? y| 是在 R上的正常度量，并設(shè) d2(x,y) = | e? e|。則這兩個(gè)度量都引發(fā)在 R上的正常拓?fù)洌且恢陆Y(jié)構(gòu)是不同的，因?yàn)?{ (x,y) : | x ? y | < 1 } 是 d1的一致結(jié)構(gòu)的周圍但不是 d2的。非正式的，這個(gè)例子可以被看作選取正常的一致性并通過(guò)連續(xù)但非一致連續(xù)函數(shù)的作用扭曲它。
所有拓?fù)淙篏（特別是所有拓?fù)涫噶靠臻g）成為一致空間，如果我們定義 G× G的子集 V是周圍，當(dāng)且僅當(dāng)它包含集合 { (x, y) : x?y∈ U} 對(duì)于 G的單位元的某個(gè)鄰域U。這個(gè) G上的一致結(jié)構(gòu)叫做在 G上的右一致性，因?yàn)閷?duì)于所有 G中的 a，右乘法 x→ x?a是關(guān)于這個(gè)一致結(jié)構(gòu)一致連續(xù)的。你還可以定義 G上的左一致性；它們兩個(gè)不需要相符合，但是它們都生成在 G上的給定拓?fù)洹?/p>
歷史
在安德烈·韋伊于1937年首次給出一致結(jié)構(gòu)的明確定義之前，一致概念如完備性被使用度量空間討論。尼古拉·布爾巴基在書(shū)《Topologie Général》中提供了依據(jù)周圍的一致結(jié)構(gòu)定義，而 John Tukey給出了一致覆蓋定義。韋伊還依據(jù)偽度量族來(lái)刻畫(huà)一致空間。
參考資料 >