項(xiàng)測(cè)試（term test for divergence）是數(shù)學(xué)上測(cè)試無窮級(jí)數(shù)是否發(fā)散的一個(gè)方式。
介紹
第n項(xiàng)測(cè)試（the n-th term test for divergence）是數(shù)學(xué)上測(cè)試無窮級(jí)數(shù)是否發(fā)散的一個(gè)方式。
若或極限不存在，則發(fā)散。
用途
項(xiàng)測(cè)試和其他較強(qiáng)的收斂測(cè)試不同，此測(cè)試方式只能確認(rèn)級(jí)數(shù)是否發(fā)散，不能確認(rèn)級(jí)數(shù)是否收斂。若不符合此測(cè)試的條件，無法判定級(jí)數(shù)是收斂或是發(fā)散。例如：
若，則可能收斂也可能發(fā)散，此條件下無法用此測(cè)試判定級(jí)數(shù)是否收斂。
調(diào)和級(jí)數(shù)就是不符合此測(cè)試的發(fā)散條件，卻又是發(fā)散級(jí)數(shù)的典型范例。調(diào)和級(jí)數(shù)是以下p級(jí)數(shù)的特例：
配合項(xiàng)測(cè)試及其他測(cè)試，可得到以下的結(jié)果：
??若，根據(jù)項(xiàng)測(cè)試可知此級(jí)數(shù)發(fā)散。
??若，根據(jù)項(xiàng)測(cè)試無法判定級(jí)數(shù)發(fā)散或收斂，根據(jù)積分判別法可判定此級(jí)數(shù)發(fā)散。
??若，根據(jù)項(xiàng)測(cè)試無法判定級(jí)數(shù)發(fā)散或收斂，根據(jù)積分判別法可判定此級(jí)數(shù)收斂。
證明
要證明此測(cè)試法，一般都會(huì)證明其逆否命題（contrapositive）形式；
若收斂，則
利用極限證明
若是級(jí)數(shù)的部分和，則上述對(duì)數(shù)列的假設(shè)可推得
因此可得
柯西判別法
級(jí)數(shù)收斂的假設(shè)表示級(jí)數(shù)可以滿足柯西判別法的測(cè)試：對(duì)任均存在一數(shù)字N使得
在所有及的條件下均成立。令，即可得到。
應(yīng)用范圍
項(xiàng)測(cè)試最簡(jiǎn)單的版本可以用在實(shí)數(shù)的無窮級(jí)數(shù)中。上述的二個(gè)證明也可以在適用在賦范向量空間中。
參考資料 >