鏡像法是直接建立在唯一性定理基礎(chǔ)上的一種求解靜電場問題的方法。適用于解決導(dǎo)體或介質(zhì)邊界前存在點源或線源的一些特殊問題。鏡像法的特點是不直接求解電位函數(shù)所滿足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求區(qū)域外用簡單的鏡像電荷代替邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷。根據(jù)唯一性定理，如果引入鏡像電荷后，原求解區(qū)域所滿足的泊松或拉普拉斯方程和邊界條件不變，該問題的解就是原問題的解。
簡介
一種計算靜電場或穩(wěn)定電磁場的方法。W.威廉·湯姆森(即開爾文)于1848年提出，最先用于計算一定形狀導(dǎo)體面附近的電荷所產(chǎn)生的靜電場，叫做電像法；后來發(fā)展到可以計算某些穩(wěn)定電磁場，現(xiàn)在稱做鏡像法。在電荷的附近出現(xiàn)導(dǎo)體面（或介質(zhì)分界面）時，這些面對電場有影響。鏡像法就是利用已經(jīng)熟悉的靜電學(xué)知識，通過在這些面的另一側(cè)適當(dāng)位置，設(shè)置適當(dāng)量的假想電荷（稱為電荷的像或像電荷），等效地代替實際導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷或電介質(zhì)界面上的極化電荷，以保證場的邊界條件得到滿足。根據(jù)靜電唯一性定理，在求解區(qū)域中，源電荷與像電荷產(chǎn)生的電場就是實際存在的電場。鏡像法常常很簡便地得到場的解析解，但只有邊界面幾何形狀很簡單的情形才可能成功地設(shè)置電像，故不是普遍適用的方法。目前，鏡像法已不限于靜電學(xué)范圍，它已應(yīng)用于計算穩(wěn)恒磁場，穩(wěn)恒電流場和天線的輻射場等不少重要的電磁場問題。
參考書目
馮慈璋主編：《電磁場》(電工原理Ⅱ),人民教育出版社，北京市,1979。
J.D.Kraus and 丹麥克朗Canver,Electromagnetics，2nd ed.,McGraw-Hill,New York,1973.
背景簡介
在靜電場中，如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布時，可用拉普拉斯方程求解場分布；如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時，可用泊松方程求解場分布。如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面時，一般情況下，直接求解這類問題比較困難，通常可采用一種特殊方法-鏡象法來求解這類問題。
原理
基本原理
鏡像法
其基本原理是：用放置在所求場域之外的假想電荷（鏡像電荷）等效的替代導(dǎo)體表面（或介質(zhì)分界面）上的感應(yīng)電荷（或極化電荷）對場分布的影響，從而將求解實際的邊值問題轉(zhuǎn)換為求解無界空間的問題。
唯一性定理
鏡像法
鏡像法解題的理論依據(jù)是唯一性定理。
其實電像法的目的就是要湊出若干個點電荷代替在分界面的感應(yīng)電荷描述源所在空間的電勢或電場分布，這符合唯一性定理。
根據(jù)唯一性定理，鏡像電荷的確定應(yīng)遵循以下兩條原則：
1.所有的鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中；
2.鏡像電荷的個數(shù)位置及電荷量的大小由滿足場域邊界上的邊界條件來確定。
給定幾何形狀的導(dǎo)體，就是要湊出若干個點電荷使得分界面等勢。
鏡像點的求解
當(dāng)有方向的射線到達障礙物（墻面）時，根據(jù)反射定理，將會發(fā)生反射作用，而如何確定反射射線，則是根據(jù)鏡像法完成，具體步驟如下：
鏡像點的求解；如果已經(jīng)知道源點S和多面體面，根據(jù)鏡像法原理，由該多面體面反射的射線可以認(rèn)為是從鏡像源點I直接輻射的射線。鏡像源點I的位置和實源點S對于多面體面所在的平面是對稱的。從實源點S的輻射特性以及多面體的電磁特性可以得到鏡像源輻射的場。對于已知的觀察點O，很容易知道反射點 R是線段IO和多面體面的交點。
對于一次反射來說，當(dāng)所求空間域中有N個平面多面體面時，鏡象的數(shù)目將是N個。因此，到達一個觀察點的最大反射射線數(shù)目是N。
可以用類似的方法分析二次反射射線。二次反射射線的源是一階鏡像(一次反射的鏡像)的鏡像，它們被稱為二階鏡像。由圖1，兩個平面，S為發(fā)送點，O為接收點，S關(guān)于平面1求鏡像點a，S及a關(guān)于平面1對稱，且連線垂直于平面1，鏡像點b關(guān)于平面2求鏡像點b，a及b關(guān)于平面2對稱，且連線垂直于平面2。則對于兩個平面來說，可以得到四個點：發(fā)送點S，鏡像點a，鏡像點b，接收點O。即利用發(fā)送點對平面1求鏡像點a，再利用已求得的鏡像點 a根據(jù)平面2求鏡像點b，以此類推可求得發(fā)送點關(guān)于平面N的鏡像點N。
特殊問題
在半徑為a的無限長接地導(dǎo)體圓柱外有一根與圓柱軸線平行的無限長線電荷，線電荷密度為，與圓柱軸線的距離為d，求柱外任意點的電位。
參考資料 >