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在抽象代數(shù)中，一個(gè)群的換位子群或?qū)海侵赣蛇@個(gè)群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G(1)。每個(gè)群都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的交換子群。在一個(gè)群G的所有正規(guī)子群中，交換子群G′是使得G對(duì)它的商群為交換群的最小子群。在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因?yàn)閺慕粨Q子的定義:，如果x與y交換，那么[x,y]=e。一個(gè)群內(nèi)可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群e。
定義
給定一個(gè)群的交換子群或?qū)海夯騁是G的所有交
換子所生成的子群：
類似地可以定義高階的導(dǎo)群。
,其中n是整數(shù)。
可以證明，如果存在自然數(shù) n 使得 ，那么G是可解群。
商群是一個(gè)尼爾斯·阿貝爾群，叫做G的 阿貝爾化子群，通常記作G。G的阿貝爾化子群就是G的一階同調(diào)群。
的群叫做 完美群，這是與阿貝爾群相對(duì)的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群。
性質(zhì)
1.G'是G的正規(guī)子群。
2.G對(duì)于自同構(gòu)穩(wěn)定:。
3.如果H是G的子群，那么屬于G'。
4.是一個(gè)滿同態(tài)，那么。
5.如果H是G的正規(guī)子群，那么是交換群，當(dāng)且僅G'當(dāng)屬于H'。
6.可交換。
應(yīng)用
??4次交替群的交換子群是克萊因四元群。
??n次對(duì)稱群的交換子群是n次交替群。
??四元群的交換子群是。
參考資料 >