變換理論是天體力學中一種重要的研究方法，主要探討如何通過變量變換來簡化天體運動方程，使其更易于分析和理解。
正則變換
正則變換是一種常見的變量變換方法，在分析力學中，哈密頓方程也被稱為正則方程，因其具有的對稱性和其他優勢，是解決力學問題的重要工具。如果變量變換后的新方程仍然保持正則形式，則稱之為正則變換。其中，不顯含時間的正則變換稱為保守正則變換；如果保守正則變換能夠保持哈密頓函數不變，則稱為完全正則變換。1916年，蔡佩爾使用正則變換處理了天體力學中的具體問題，這一方法后來被稱為蔡佩爾方法。1959年，布勞威爾利用蔡佩爾方法解決了人造天體的運動問題，發展出布勞威爾-蔡佩爾方法。堀源一郎將李級數的概念應用于正則變換，提出了堀源-李變換，并將其理論擴展至非正則系統，成功應用于受攝開普勒運動和非線性振動問題。謝費勒則將正則變換概念推廣至不同維度空間間的變換，并明確了相關條件。
規范化變換
規范化變換是指通過對質點組運動方程中的碰撞奇點進行變換，以消除其奇異性質，使得新坐標成為新自變量的解析函數，從而使運動方程更加適合理論討論，并可能提供具體的解法。在三體問題中，松德曼級數就是通過對二體碰撞奇點進行規范化變換后獲得的。對于某些可積問題，規范化變換常常揭示出積分路徑。在平面圓形限制性三體問題中，蒂勒變換可用于求解雙不動中心問題。在包含碰撞奇點的運動方程數值積分過程中，由于靠近奇點時方程變化迅速，因此需要大幅減少積分步長，這不僅耗時且難以保證精度。通過規范化變換，可以顯著提高計算效率和精度。平面二體問題中最為知名的規范化變換是列維-齊維他變換，它將運動方程轉化為簡諧振動方程。在空間二體問題中，有KS變換和莫澤變換，后者通過球極平面投影及其正則擴充，將2n維相空間變換為n+1維空間的單位球面及其切空間。當n=3時，可以將具有負能量的開普勒軌道變換為球面上的測地線，將碰撞奇點變為球面上的一個極點。這些規范化變換在多體問題中僅能使一個二體碰撞奇點規范化，因此被稱為局部規范化變換。局部規范化已經能夠解決許多實際工作的數值積分問題和部分理論課題。全局規范化變換則是指同時規范所有二體碰撞奇點的變換，難度較大。平面圓形限制性三體問題的全局規范化歷史較長，成果較為完備。通常采用以兩個大質量質點連線中點為原點的旋轉坐標系，將舊坐標z和新坐標均視為復變量，兩者的關系由保角映射z=f()表示。自變量t變換為s的關系為dt/ds=|dz/d|。其中最著名的變換是蒂勒變換z=(cosθ)/2，曾被廣泛用于平面圓形限制性三體問題的周期軌道數值積分工作中。此外，還有z=(±iθ)/4的變換，當n=1時為伯克霍夫變換，而n=2時則為勒梅特變換。所有這些變換都能同時規范兩個碰撞奇點，留下唯一未規范的碰撞奇點位于z平面上。
參考資料 >
Hilbert—Huang變換.百度學術搜索.2024-10-25
小波變換理論應用進展.百度學術搜索.2024-10-25
子波變換理論及其在信號處理中的應用.百度學術搜索.2024-10-25