若矩陣A滿足兩條件：（1）若有零行（元素全為0的行），則零行應(yīng)在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)號(hào)隨行標(biāo)號(hào)的增加而嚴(yán)格遞增，則稱此矩陣A為階梯形矩陣。在線性代數(shù)中，這樣的矩陣也被稱為行階梯形矩陣或行梯形式矩陣（Row Echelon Form）。
介紹
階梯形矩陣的一個(gè)例子是：
2 0 2 1
0 5 2 -2
0 0 3 2
0 0 0 0
在這種矩陣中，非零行的首項(xiàng)系數(shù)（最左邊的非零元素）必須位于全零行之上，并且每一行的首項(xiàng)系數(shù)都比上一行的首項(xiàng)系數(shù)更靠右。首項(xiàng)系數(shù)所在的列中，在首項(xiàng)系數(shù)下面的元素都必須是零。
行簡(jiǎn)化階梯形
若矩陣A滿足兩條件：（1）它是階梯形矩陣；（2）非零首元所在的列除了非零首元外，其余元素全為0，則稱此矩陣A為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。
2 0 01
0 5 0-2
0 0 32
0 0 01
行最簡(jiǎn)形
若矩陣滿足兩條件：（1）它是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；（2）非零首元都為1，則稱此矩陣A為行最簡(jiǎn)形矩陣。一個(gè)行最簡(jiǎn)形矩陣的例子是：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
注意，簡(jiǎn)化列階梯形矩陣的左部并不總是單位陣，例如：
1 0 1/2 0
0 1 -1/3 0
0 0 0 1
因?yàn)榈?列并不包含任何列的首項(xiàng)系數(shù)。
矩陣變換
下列三種變換稱為矩陣的行初等變換：
（1）對(duì)調(diào)兩行；
（2）以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素；
（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去。
將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。
有如下定理成立：
（1）任一矩陣可經(jīng)過有限次初等行變換化成階梯形矩陣；
（2）任一矩陣可經(jīng)過有限次初等行變換化成行最簡(jiǎn)形矩陣；
（3）矩陣在經(jīng)過初等行變換化為最簡(jiǎn)形矩陣后，再經(jīng)過初等列變換，還可以化為最簡(jiǎn)形矩陣，因此，任一矩陣可經(jīng)過有限次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。
一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是惟一確定的（行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)也是惟一確定的）。
示例
正確的行階梯形矩陣示例：
1 8 9
0 1 2
0 0 1
錯(cuò)誤的行階梯形矩陣示例：
1 0 0 -8
0 1 0 0
0 4 1 26
在這個(gè)錯(cuò)誤的示例中，第二列的第一非零項(xiàng)1的下方的列項(xiàng)不全為零（有非零項(xiàng)4），違反了行階梯形矩陣的定義。
簡(jiǎn)化行階梯形矩陣的正確示例：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
以及包含非全零行的示例：
1 9 0 5 0 17
0 0 1 0 0 -3
0 0 0 0 1 32
0 0 0 0 0 0
這些示例展示了行階梯形矩陣和簡(jiǎn)化行階梯形矩陣的不同形式和要求。
參考資料 >