中心矩是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是關(guān)于隨機(jī)變量平均值的概率分布的特征數(shù)。中心矩可以反映概率分布的特征，特別是高階中心矩，它們僅與分布的形狀有關(guān)，而不受分布位置的影響，因此比原點(diǎn)矩更為常用。
內(nèi)容簡(jiǎn)介
在數(shù)學(xué)的概率領(lǐng)域中有一類數(shù)字特征叫矩。
中心矩：對(duì)于正整數(shù)k，如果E(X)存在，且，則稱為隨機(jī)變量X的k階中心矩。如X的方差是X的二階中心矩，即.
設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，如果存在，則稱之為X與Y的階混合中心矩.
協(xié)方差是X和Y的二階混合中心矩.
定義
對(duì)于一維隨機(jī)變量X，其k階中心矩μ_k定義為：
μ_k = E[(X - E[X])^k] = ∫(x - μ)^k f(x) dx
其中μ是隨機(jī)變量X的期望值，f(x)是X的概率密度函數(shù)。中心矩的前幾階具有明確的意義：
- 第0階中心矩μ_0恒為1。
- 第1階中心矩μ_1恒為0，因?yàn)樗?a href="/hebeideji/6722670212073174608.html">隨機(jī)變量減去其期望值的期望。
- 第2階中心矩μ_2是隨機(jī)變量X的方差Var(X)。
- 第3階中心矩μ_3用于定義隨機(jī)變量X的偏度。
- 第4階中心矩μ_4用于定義隨機(jī)變量X的峰度。
性質(zhì)
中心矩具有平移不變性，即對(duì)于任意的隨機(jī)變量X和任意常數(shù)c，有：
μ_n(X + c) = μ_n(X)
中心矩是n次齊次函數(shù)，即：
μ_n(cX) = c^n μ_n(X)
只有當(dāng)n屬于{1,2,3}，且X和Y為兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，中心矩才具有加法性，即：
μ_n(X + Y) = μ_n(X) + μ_n(Y)
對(duì)于n ≥ 4的情況，中心矩不再具有加法性，但累積量κ_n在這種情況下仍保持加法性。累積量是與中心矩類似的統(tǒng)計(jì)量，它在所有階數(shù)上都具有加法性。
參考資料 >