連通性，是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的基本概念。
定義
連通性是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的基本概念。
其定義如下：
稱拓?fù)淇臻gX為連通的，若X中除了空集和X本身外沒(méi)有別的既開(kāi)又閉子集。
拓?fù)淇臻gX的子集E稱為連通的，若E作為X的子空間在誘導(dǎo)拓?fù)湎率沁B通的。等價(jià)描述
1. 稱拓?fù)淇臻gX連通，若X不能表示成兩個(gè)非空不交開(kāi)集的并。
2. 稱拓?fù)淇臻gX連通，若當(dāng)它分成兩個(gè)非空子集的并A∪B時(shí)，有A交B的閉包非空，或B交A的閉包非空。
3.稱拓?fù)淇臻gX連通，若X內(nèi)即開(kāi)又閉的子集只有X與空集。
性質(zhì)
【連通的性質(zhì)】
1. 實(shí)數(shù)集的子集是連通的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)區(qū)間
2. 連通性由同胚保持，從而是空間的拓?fù)湫再|(zhì)
3. 設(shè)Ω是X的一族子集，它們的并是整個(gè)空間X，每個(gè)Ω中的成員連通，且兩兩不分離（即任意兩個(gè)集合的閉包有非空交），則X連通
4. 若X,Y連通，則乘積空間X×Y連通
其他相關(guān)概念
1. 道路連通：
稱X為道路連通的，若任取X中的兩點(diǎn)x,y，有連接x,y的道路
2. 局部道路連通
稱X為局部道路連通的，若對(duì)任意X中的點(diǎn)x,x的任一領(lǐng)域U包含x的一個(gè)道路連通鄰域V
3. 局部連通
稱X為局部連通的，若對(duì)任意X中的點(diǎn)x,x的任一領(lǐng)域U包含x的一個(gè)連通鄰域V
道路連通空間一定是連通的，反之不然。
道路連通與局部道路連通之間沒(méi)有必然聯(lián)系。
連通與局部連通之間沒(méi)有必然聯(lián)系。
參考資料 >