在數(shù)學(xué)中，本原元素定理精確刻畫(huà)了什么時(shí)候?qū)τ谝粋€(gè)域擴(kuò)張E/F，E可以表示為F(α)的形式，即E可以由單個(gè)元素生成。
簡(jiǎn)介
本原元素定理(the theorem of the primitive e1-ement)是判定單擴(kuò)張的重要命題，是對(duì)代數(shù)擴(kuò)張?jiān)谑裁礂l件下為單擴(kuò)張問(wèn)題的一個(gè)廣泛回答。若是域F的代數(shù)擴(kuò)域，為F上可分元，則存在一個(gè)元素使得，其中B稱(chēng)為本原元素。特別地，有限次可分?jǐn)U域必為單擴(kuò)域，此為本原元素定理。施泰尼茨 一個(gè)有限擴(kuò)張有本原元，即存在α使得，當(dāng)且僅當(dāng)E和F之間只有有限個(gè)中間域。 如果F是有限域，由于是有限擴(kuò)張，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循環(huán)群，任取這個(gè)乘法群的一個(gè)生成元，E可以由這個(gè)生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恒為真。 如果F是無(wú)限域，但是只有有限個(gè)中間域。先證明一個(gè)引理：假設(shè)并且E和F之間只有有限個(gè)中間域，那么存在一個(gè)使得。 引理的證明如下：當(dāng)c取遍F的時(shí)候，對(duì)于每一個(gè)c可以做一個(gè)中間域。但是由假設(shè)，只有有限個(gè)中間域，因此必定存在， ，使得。由于都在這個(gè)域里，推得也在這個(gè)域里。由于，推得β在這個(gè)域里，于是α也在這個(gè)域里，因此是的子集，是的子集，于是。引理證畢。 由于有限擴(kuò)張總是有限生成的，推得（對(duì)于）。利用歸納法以及引理可以得出，如果E/F之間只有有限個(gè)中間域，那么E可以由單個(gè)元素生成。 而如果，假設(shè)是α在F上的極小多項(xiàng)式，K是任意一個(gè)中間域，是α在K上的極小多項(xiàng)式。顯然g(x)整除f(x)，由于域上的多項(xiàng)式環(huán)是唯一分解環(huán)，f(x)只有有限個(gè)因子。而對(duì)于每一個(gè)g(x)整除f(x)，如果g(x)寫(xiě)作 并令 顯然K是K的一個(gè)子域，因此在上依然是不可約的。而同時(shí)，因此可以得到 這樣立即推，于是任何一個(gè)中間域K對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)f(x)的因子g。于是中間域個(gè)數(shù)小于因子的個(gè)數(shù)。但因子個(gè)數(shù)是有限的，因此中間域個(gè)數(shù)有限。證畢。 本原多項(xiàng)式是近世代數(shù)中的一個(gè)概念，是唯一分解整環(huán)上滿(mǎn)足所有系數(shù)的最大公因數(shù)為1的多項(xiàng)式。本原多項(xiàng)式不等于零，與本原多項(xiàng)式相伴的多項(xiàng)式仍為本原多項(xiàng)式。 設(shè) 是唯一分解整環(huán)D上的多項(xiàng)式，如果，則稱(chēng)f(x)為D上的一個(gè)本原多項(xiàng)式。（符號(hào)表示最大公約數(shù)） 本原多項(xiàng)式滿(mǎn)足以下條件： 1）f(x)是既約的，即不能再分解因式； 2）f(x)可整除，這里的； 3）f(x)不能整除，這里。 高斯引理：本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。 參考資料 >定理
證明
本原多項(xiàng)式
定義
定理