在數(shù)學(xué)中，尤其是代數(shù)幾何與復(fù)流形理論里，凝聚層是一類(lèi)特別容易處理的層。凝聚層的定義指涉到一個(gè)環(huán)層（例如一個(gè)概形的結(jié)構(gòu)層、復(fù)流形上的全純函數(shù)層或 D-模），此環(huán)層蘊(yùn)藏了所論空間的幾何性質(zhì)。相關(guān)的概念還有擬凝聚層與有限展示層。代數(shù)幾何與復(fù)解析幾何里的許多性質(zhì)與定理都以凝聚層及其上同調(diào)表述。
正文
在數(shù)學(xué)中，尤其是代數(shù)幾何與復(fù)流形理論里，凝聚層是一類(lèi)特別容易處理的層。凝聚層的定義指涉到一個(gè)環(huán)層（例如一個(gè)概形的結(jié)構(gòu)層、復(fù)流形上的全純函數(shù)層或D-模），此環(huán)層蘊(yùn)藏了所論空間的幾何性質(zhì)。相關(guān)的概念還有擬凝聚層與有限展示層。代數(shù)幾何與復(fù)解析幾何里的許多性質(zhì)與定理都以凝聚層及其上同調(diào)表述。
介紹
凝聚層可被視作向量叢截面層的推廣。它們構(gòu)成的范疇在取核、上核、有限直和等操作下封閉。此外，若底空間滿(mǎn)足合宜的緊致條件，則凝聚性在底空間的映射下保持不變，且具有有限維的層上同調(diào)群。交換代數(shù)里的一些定理也能應(yīng)用于凝聚層，如中山正引理。
一個(gè)凝聚層是賦環(huán)空間上的一個(gè)-模，滿(mǎn)足下述性質(zhì)：
在上是有限型的，即：對(duì)任一點(diǎn)，存在其鄰域使得可由有限多個(gè)截面生成（換言之，存在正合序列）。
對(duì)任意開(kāi)集，任意及任意-模的態(tài)射，其核是有限型的。
環(huán)層是凝聚層當(dāng)且僅當(dāng)它自身作為一個(gè)-模是個(gè)凝聚層。
凝聚層必定是有限展示的：即對(duì)任一點(diǎn)都存在其開(kāi)鄰域U、正整數(shù)m,n以及一個(gè)正合序列：
反之則不然，除非要求是凝聚環(huán)層。
擬凝聚層的定義更弱：我們僅要求對(duì)任一點(diǎn)都存在開(kāi)鄰域U，索引集I,J（可能是無(wú)限集）及一個(gè)正合序列：
對(duì)一個(gè)仿射簇X=Spec(R)，給出從擬凝聚層到R-模的范疇等價(jià)；若R是諾特環(huán)，則凝聚層恰對(duì)應(yīng)至有限生成的R-模。
凝聚層的概念較局部自由層（換言之，向量叢的截面層）廣，但仍然很容易操作，這在考慮核與上核時(shí)特別有利，因?yàn)榫植孔杂蓪釉谶@些操作下并不封閉。形式地說(shuō)：給定一個(gè)短正合序列，只要其中任兩個(gè)層是凝聚層，則令一個(gè)也必然是凝聚層；在-模的范疇里，凝聚層是滿(mǎn)足上述條件并包含的最小滿(mǎn)范疇。因此就同調(diào)代數(shù)的觀點(diǎn)看，凝聚層是最自然的范疇之一。
參考資料 >